Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x²的图象记为抛物线l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l₂，如图2，求抛物线l₂的函数表达式；
（3）设抛物线l₂的顶点为C，K为y轴上一点．若S_△ABK=S_△ABC，求点K的坐标；
（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）有多种答案，符合条件即可．
例如y=x²+1，y=x²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，
y=（x+-1）²，y=（x-1-）²．

（2）设抛物线l₂的函数表达式为y=x²+bx+c，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l₂上，
∴，
解得，
∴抛物线l₂的函数表达式为y=x²-x+．

（3）y=x²-x+=（x-）²+，
∴C点的坐标为（，）．
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，EF=．
∴S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=（2+1）×2-（2+）×-（1+）×=．
延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上，
∴，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y=-x+．
∴G点的坐标为（0，）．
设K点坐标为（0，h），分两种情况：
若K点位于G点的上方，则KG=h-．
连接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=×3×（h-）-×1×（h-）=h-．
∵S_△ABK=S_△ABC=，
∴h-=，
解得h=．
∴K点的坐标为（0，）．
若K点位于G点的下方，则KG=-h．
同理可得，h=．
∴K点的坐标为（0，）．

（4）作图痕迹如图所示．
①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平分线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点．
分析：（1）本题答案不唯一，符合条件均可．
（2）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l₂的函数表达式．
（3）本题可通过求三角形的面积来求K的坐标．由于三角形ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．
（4）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平分线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点．
点评：本题考查了二次函数图象的平移、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识．综合性强，难度较大．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差进行求解．