题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a＝﹣1时，抛物线顶点D的坐标为 ，OE＝ ；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO＝β，当β从30°增加到60°的过程中，点D运动的路径长；
（4）以DE为斜边，在直线DE的右上方作等腰Rt△PDE．设P（m，n），请直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，4），3（2）OE的长与a值无关（3）
（4）n＝m+1（m＞﹣1）
【解析】
（1）求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
（3）求出落在特殊情形下的a的值即可点D运动的路径长；
（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题．
（1）当a＝﹣1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D（﹣1，4），C（0，3），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE＝3，
故答案为：（﹣1，4），3；
（2）结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y＝ax2+2ax﹣3a，
∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a），
∴直线CD的解析式为y＝ax﹣3a，
当y＝0时，x＝3，
∴E（3，0），
∴OE＝3，
∴OE的长与a值无关．
（3）如图，
当β＝30°时，OC＝
OE＝
，
∴﹣3a＝，
∴a＝﹣，此时点D′的坐标是（﹣1，
）．
当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝OE＝3，
∴﹣3a＝3，
∴a＝﹣，此时点D的坐标是（﹣1，4）．
∴点D运动的路径长为：4﹣＝；
（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥x轴于N．
∵PD＝PE，∠PMD＝∠PNE＝90°，∠DPE＝∠MPN＝90°，
∴∠DPM＝∠EPN，
∴△DPM≌△EPN（AAS），
∴PM＝PN，DM＝EN，
∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0），
∴由PM＝PN得到：n＝m+1．
由DM＝EN得到：m﹣3＝﹣4a﹣n．
当顶点D在x轴上时，P（1，2），此时m的值1，
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＞﹣1．
∴n＝m+1（m＞﹣1）．
