Question

【题目】瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个_____面体．

Answer 1

【答案】12． 12．

【解析】

①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.

解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．

由题意F＝20，

∴n+10﹣＝2，

解得n＝12．

②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面

由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝

由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：

F+﹣＝2

化简整理：F＝12

所以：E＝30，V＝20

即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，

故答案为12，12.