题目内容
29、如图1,已知平行四边形PQRS是⊙O的内接四边形.
(1)求证:平行四边形PQRS是矩形.
(2)如图2,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、CD上分别取点P、S,连接PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得四边形PQRS.试判断四边形RQRS能否变化成矩形?若能,设PA=x,SA=y,请说明x、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由.
(1)求证:平行四边形PQRS是矩形.
(2)如图2,如果将题目中的⊙O改为边长为a的正方形ABCD,在AB、CD上分别取点P、S,连接PS,将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR,从而得四边形PQRS.试判断四边形RQRS能否变化成矩形?若能,设PA=x,SA=y,请说明x、y具有什么关系时,四边形PQRS是矩形;若不能,请说明理由.
分析:(1)只需证明有一内角为90°即可.根据圆内接四边形对角互补及平行四边形对角相等易得结论.
(2)根据中心对称的定义易知四边形PQRS为平行四边形;若是矩形,则必有内角为直角,不妨设∠QPS=90°,此时
需满足△BPQ∽△ASP.即当BP:BQ=AS:AP时,四边形PQRS为矩形.
(2)根据中心对称的定义易知四边形PQRS为平行四边形;若是矩形,则必有内角为直角,不妨设∠QPS=90°,此时
需满足△BPQ∽△ASP.即当BP:BQ=AS:AP时,四边形PQRS为矩形.
解答:证明:(1)∵平行四边形PQRS内接于⊙O,
∴∠Q+∠S=180°.
又∵∠Q=∠S,
∴∠Q=90°,
∴平行四边形PQRS是矩形.
(2)∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称,
∴QS与PR被O点平分,四边形PQRS为平行四边形.
若平行四边形PQRS变成矩形,不妨设∠QPS=90°.则∠BPQ+∠APS=90°.
又∵∠APS+∠ASP=90°,
∴∠BPQ=∠ASP,
∴△BPQ∽△ASP.
∴BP:BQ=AS:AP,
即 (a-x):(a-y)=y:x,
整理得(x-y)(x+y-a)=0,
∴x=y或x+y=a.
∴当x=y或x+y=a时,
可证得△BPQ∽△ASP,此时有∠QPS=90°,
从而得平行四边形PQRS是矩形.
∴∠Q+∠S=180°.
又∵∠Q=∠S,
∴∠Q=90°,
∴平行四边形PQRS是矩形.
(2)∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称,
∴QS与PR被O点平分,四边形PQRS为平行四边形.
若平行四边形PQRS变成矩形,不妨设∠QPS=90°.则∠BPQ+∠APS=90°.
又∵∠APS+∠ASP=90°,
∴∠BPQ=∠ASP,
∴△BPQ∽△ASP.
∴BP:BQ=AS:AP,
即 (a-x):(a-y)=y:x,
整理得(x-y)(x+y-a)=0,
∴x=y或x+y=a.
∴当x=y或x+y=a时,
可证得△BPQ∽△ASP,此时有∠QPS=90°,
从而得平行四边形PQRS是矩形.
点评:此题考查了矩形的判定方法及相似三角形的判定和性质,为开放探索型综合题,有一定难度.此类题常用分析法求解.
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