题目内容
【题目】如图,,,,点D、E为BC边上的两点,且,连接EF、BF则下列结论:≌;≌;;,其中正确的有()个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
根据∠DAF=90°,∠DAE=45°,得出∠FAE=45°,利用SAS证明△AED≌△AEF,判定①正确;
由△AED≌△AEF得AF=AD,由,得∠FAB=∠CAD,又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确;
先由∠BAC=∠DAF=90°,得出∠CAD=∠BAF,再利用SAS证明△ACD≌△ABF,得出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF,等量代换后判定③正确;
先由△ACD≌△ABF,得出∠C=∠ABF=45°,进而得出∠EBF=90°,判定④正确.
解:①∵∠DAF=90°,∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°.
在△AED与△AEF中,
,
∴△AED≌△AEF(SAS),①正确;
②∵△AED≌△AEF,
∴AF=AD,
∵,
∴∠FAB=∠CAD,
∵AB=AC,
∴≌,②正确;
③∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD,即∠CAD=∠BAF.
在△ACD与△ABF中,
,
∴△ACD≌△ABF(SAS),
∴CD=BF,
由①知△AED≌△AEF,
∴DE=EF.
在△BEF中,∵BE+BF>EF,
∴BE+DC>DE,③正确;
④由③知△ACD≌△ABF,
∴∠C=∠ABF=45°,
∵∠ABE=45°,
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°.④正确.
故答案为D.