Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系中，直线AB： 与x轴、y轴分别交于B、A两点，等腰Rt△OCD，∠D＝90°，C坐标为（﹣4，0）．

（1）求A、B坐标；

（2）将△OCD沿x轴正方形平移，速度为1个单位为每秒，时间为t（0≤t≤6），设△OCD与△OAB重叠面积为S，请写出S与t之间的函数关系式；

（3）将△OCD绕O点旋转，当O、B、D三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出D点坐标．

Answer 1

【答案】（1）， B（6，0）；（2）；（3）点D的坐标为 ， ， ， ．

【解析】

1）分别令x＝0，解得点A的坐标，令y＝0，解得点B的坐标．

（2）分情况讨论，利用特殊角度求得线段之间存在的数量关系，再计算重叠部分面积．

（3）分情况讨论，O为直角顶点，D为直角顶点，再利用等面积法求得线段长度．

解：（1）令x＝0，y＝2，

∴A（0，2），

令y＝0，即﹣x+2＝0，

解得x＝6，

∴B（6，0）．

（2）∵C（﹣4，0），

∴OC＝4，

∵△COD为等腰直角三角形，

∴CD＝OD，设CD为a，则OD为a，

在Rt△OCD中，根据勾股定理得，a2+a2＝42，

解得a＝2，

①当0≤t≤2时，

OO′＝t，OM＝t，

S＝OO′OM＝t2．

②2＜t≤4时，

OO′＝t，∴OC′＝4﹣t，

∴OM＝4﹣t，

S＝×（2）2﹣OC′OM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4．

③当4＜t≤8﹣2时，

S＝×（2）2＝4．

④8﹣2＜t≤6时，

OO′＝t，

∴BO′＝6﹣t，

过M作MN垂直x轴，垂足为N，

设MN＝NO′＝x，

则BN＝x，

∴x﹣x＝6﹣t，

解得x＝，

BC′＝10﹣t，过点Q作x轴得垂线，垂足为P，

设PQ＝PC′＝y，则BP＝y，

∴y+y＝10﹣t，

解得y＝，

∴S＝BC′PQ﹣BO′MN＝﹣t2+8t﹣2t+16﹣34．

综上：

（3）①如图所示，

此时D（0，2）．

②如图所示，

此时D（0，﹣2）．

③如图所示，

此时∠BDO＝90°，OD＝2，OB＝6，

∴DB＝2，

过D作DE垂直于x轴，垂足为点E，

ODDB＝OBDE，

解得DE＝，

∴OE＝，

∴D（，）．

④如图所示，

此时的点D与③中的点D关于x轴对称，

∴D．

综上，点D的坐标为 ， ， ， ．