题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【答案】解:(1)证明:连接OD,
∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC=90°。
∵CD=CB,∴∠CBD=∠CDB。
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB。
∴∠ODC=∠ABC=90°,即OD⊥CD。
∵点D在⊙O上,∴CD为⊙O的切线。
(2)在Rt△OBF中,∵∠ABD=30°,OF=1,∴∠BOF=60°,OB=2,BF=。
∵OF⊥BD,∴BD=2BF=2,∠BOD=2∠BOF=120°,
∴。
【解析】(1)连接OD,由BC是⊙O的切线,可得∠ABC=90°,由CD=CB,OB=OD,易证得∠ODC=∠ABC=90°,即可证得CD为⊙O的切线。
(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°,OF=1,可求得BD的长,∠BOD的度数,又由,即可求得答案。
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