Question

【题目】如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1： ，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i=1： 是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取 =1.732，结果精确到0.1m）．

Answer 1

【答案】解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，

∵CB⊥AB，

∴四边形EFBG是矩形，

∴EG=FB，EF=BG，

设CG=x米，

∵∠CEG=45°，

∴FB=EG=CG=x，

∵DE的坡度i=1： ，

∴∠EDF=30°，

∵DE=20，

∴DF=20cos30°=10 ，BG=EF=20sin30°=10，

∴AB=50+10 +x，BC=x+10，

在Rt△ABC中，

∵∠A=30°，

∴BC=ABtan∠A，

即x+10= （50+10 +x），

解得：x≈68.3，

∴BC=68.3米，

答：建筑物BC的高度是78.3米．

【解析】已知DE得坡度及在E处测得建筑物顶部的仰角是45°，因此添加辅助线，将要解决的问题转化到直角三角形中求解。过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，易证四边形EFBG是矩形，在Rt△DEF，Rt△CEG中分别求出DF、BG、EF的长，再在Rt△ABC中利用解直角三角形求出BC的长。
【考点精析】认真审题，首先需要了解解直角三角形(解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法))，还要掌握关于坡度坡角问题(坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面与水平面的夹角记作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA)的相关知识才是答题的关键．