题目内容
如图,在△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.有下列条件:①AD平分∠BAC;②DE⊥AB,DF⊥AC;③AD⊥EF,以此三个中的两个作为命题的条件,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②?③;①③?②;②③?①.
(1)以上三个命题中,属于真命题的是
(2)请选择一个真命题进行证明命题(先写出所选命题,然后证明).
(1)以上三个命题中,属于真命题的是
①②?③或②③?①
①②?③或②③?①
.(2)请选择一个真命题进行证明命题(先写出所选命题,然后证明).
分析:(1)根据角平分线的性质判断即可;
(2)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△ADE和△Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,然后利用等腰三角形三线合一的性质证明.
(2)根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△ADE和△Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,然后利用等腰三角形三线合一的性质证明.
解答:(1)解:真命题是①②?③或②③?①;
(2)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△ADE和△Rt△ADF中,
,
∴Rt△ADE≌△Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
又∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC;
∴点A,E,D,F共圆,且AD是直径,
∵AD⊥EF,
∴
=
,
∴∠EAD=∠FAD,
即AD平分∠BAC.
(2)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△ADE和△Rt△ADF中,
|
∴Rt△ADE≌△Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,
又∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC;
∴点A,E,D,F共圆,且AD是直径,
∵AD⊥EF,
∴
DE |
DF |
∴∠EAD=∠FAD,
即AD平分∠BAC.
点评:本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,难点在于先确定出真命题.
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