Question

如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别交于E、F。

（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径；
（3）对于以点M、E、A、F以及CD与⊙O的切点为顶点的五边形的五条边，从相等的关系考虑，你可以得出哪些结论？并给出证明。

Answer 1

解：（1）连结OM，作ON⊥CD于N ∵ ⊙O与BC相切 ∴ OM⊥BC ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∴OM=ON， ∴CD与⊙O相切； （2））∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°， ∴ AC=，∠NOC=45°=∠ACD OC= ∵ AC=AO+OC=， ∴AO+AO=， 所以OA=2-； （3）ME=FN，AE=AF 证明：作OG⊥AD，OH⊥AB ∵ AC平分∠BAD ∴ OG=OH ∵ AE=AF ∴ AD=AB ∵ DF=BE与⊙O相切 ∴ CM=CN ∵ BC=DC ∴ BM=DN 又∵∠B=∠D=90° ∴△EBM≌△FDN ∴ EM=FN。