Question

如图，已知⊙A半径为2，⊙B半径为1，AB=4，P为线段AB上的动点，且PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）已知PC²+PD²=4，求PB的长；
（2）在线段AB上存在点P，使PC⊥PD，垂足为P，此时有△APC∽△PBD．请问：除此外，在线段AB上是否存在另一点P，使得△APC与△BPD相似？若存在，请问此时点P的位置在何处，同时判断此时直线PC与⊙B的位置关系并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AP交⊙A与M，MP=x，则AP=2+x，PB=2-x，由勾股定理得：PC²=PA²-AC²，PD²=PB²-BD²，求出x即可；
（2）先假设存在，再根据已知条件△APC∽△PBD进行推理，计算结果成立，即存在；计算结果不成立，即不存在．

解答：解：（1）设AP交⊙A与M，MP=x，则AP=2+x，PB=2-x，PD、PC是切线，
由勾股定理得：PC²=PA²-AC²，PD²=PB²-BD²，
由题意得：（2+x）²-2²+（2-x）²-1²=4，
解得，x=±

2

2

，
取x=

2

2

，x=-

2

2

（不合题意，舍去），
∴PB=2-

2

2

．

（2）Rt△PAC和Rt△PBD中，由于AC=2BD，
当PC：PD=PA：PB=2：1成立时，
△PCA∽△PDB，
求得PB=

4

3

，
即PB=

1

3

AB=

4

3

时，△PCA∽△PDB．
此时有∠BPD=∠APC，
延长CP到E，作BE⊥PE，垂足为E，
∵有∠BPD=∠APC=∠BPE，即PB平分∠DPE．
又∵BD⊥PD，
∴BE=BD=1．
∴PE也是⊙B的切线即直线PC与⊙B相切．

点评：本题考查了切线的判定和性质及存在性问题，熟圆与圆的位置关系及相似三角形的位置关系是解题的关键．