题目内容

如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,交连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,
DE
AO
的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
(1)证明:连接AB,
∵OP⊥BC,
∴BO=CO,
∴AB=AC,
又∵AC=AD,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
又∵∠ABD=∠ACF,
∴∠ACF=∠ADB.

(2)过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M,过点A作AN⊥BF于N,连接AF,
则AN=m,
∴∠ANB=∠AMC=90°,
在△ABN和△ACM中
∠ANB=∠AMC
∠ABN=∠ACM
AB=AC

∴Rt△ABN≌Rt△ACM(AAS)
∴BN=CM,AN=AM,
又∵∠ANF=∠AMF=90°,
在Rt△AFN和Rt△AFM中
AN=AM
AF=AF

∴Rt△AFN≌Rt△AFM(HL),
∴NF=MF,
∴BF+CF=BN+NF+CM-MF,
=BN+CM=2BN=n,
∴BN=
n
2

∴在Rt△ABN中,AB2=BN2+AN2=m2+(
n
2
)
2
=m2+
n2
4

在Rt△ACD中,CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+
n2
2

∴CD=
1
2
8m2+2n2


(3)
DE
AO
的值不发生变化,
过点D作DH⊥AO于N,过点D作DQ⊥BC于Q,
∵∠DAH+∠OAC=90°,∠DAH+∠ADH=90°,
∴∠OAC=∠ADH,
在△DHA和△AOC中
∠DHA=∠AOC
∠OAC=∠ADH
AD=AC

∴Rt△DHA≌Rt△AOC(AAS),
∴DH=AO,AH=OC,
又∵BO=OC,
∴HO=AH+AO=OB+DH,
而DH=OQ,HO=DQ,
∴DQ=OB+OQ=BQ,
∴∠DBQ=45°,
又∵DHBC,
∴∠HDE=45°,
∴△DHE为等腰直角三角形,
DE
DH
=
2

DE
AO
=
2

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