Question

（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

Answer 1

分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=

2

BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．

解答：解：（1）连接AG，
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=BE，
∵AG=

AE

sin45°

=

2

AE，AC=

AB

sin45°

=

2

AB，
∴GC=AC-AG=

2

AB-

2

AE=

2

（AB-AE）=

2

BE，
∴HD：GC：EB=1：

2

：1；

（2）连接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1：

2

，∠DAC=∠HAG=45°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1：

2

，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，

AD=AB ∠DAH=∠BAE AH=AE

，
∴△DAH≌△BAE（SAS），
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1：

2

：1；

（3）有变化，
连接AG、AC，DA：AB=HA：AE=m：n，
∵∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=m：

m2+n2

，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=m：

m2+n2

，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=m：n，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=m：n，
∴HD：GC：EB=m：

m2+n2

：n．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．