Question

如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方等边△BEF，连接CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）求∠ACF的度数．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF，
∵，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；

（2）∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°；
分析：（1）根据△ABC是等边三角形，得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，再根据△BEF是等边三角形，得出EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，从而求出∠ABE=∠CBF，最后根据SAS证出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF；
（2）根据△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，从而求出∠ACF的度数．
点评：此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定，关键是根据等边三角形的性质得出∠ABE=∠CBF，掌握全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点．