Question

12、如图，已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM．

Answer 1

分析：延长AM到F，使MF=AM，连接BF（如图），利用BM=CM，∠AMC=∠BMF，求证△AMC≌△BMF，再利用三角形内角和定理求证∠DAE=∠ABF，再求证△DAE≌△ABF即可．

解答：证明：
延长AM到F，使MF=AM，连接BF（如图）
又∵BM=CM，∠AMC=∠BMF，
∴△AMC≌△BMF
∴∠1=∠2，FB=AC=AE
因为∠BAC+∠DAE=180°
∠1+∠3+∠BAC=180°
∴∠DAE=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABF
又∵AD=AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS）
∴DE=AF=2AM．

点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是延长AM到F，使MF=AM，连接BF，求证两次三角形全等，即可证明DE=2AM．