Question

如图，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，连接AP和AQ．
（1）如果△APQ的周长为6厘米，BP=2厘米，QC=3厘米，求PQ的长．
（2）如果∠B=46°，∠C=34°，求∠PAQ的度数．
（3）如果∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，即可得AP=BP=2厘米，AQ=QC=3厘米，又由△APQ的周长为6厘米，即可求得PQ的长．
（2）由AP=BP，AQ=QC，根据等边对等角的知识，可得∠BAP=∠B=46°，∠CAQ=∠C=34°，又由三角形内角和定理，求得∠BAC的度数，继而求得答案；
（3）由三角形内角和定理，可求得∠B+∠C的值，则可得∠BAP+∠CAQ的值，继而求得答案．

解答：解：（1）∵在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP=2厘米，AQ=QC=3厘米，
∵△APQ的周长为6厘米，
即AP+AQ+PQ=6厘米，
∴PQ=6-2-3=1（厘米）；

（2）∵AP=BP，AQ=QC，
∴∠BAP=∠B=46°，∠CAQ=∠C=34°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=100°-46°-34°=20°；

（3）∵AP=BP，AQ=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-110°=70°，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=110°-70°=40°．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．