题目内容
【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①
，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
连接OE、OD，
（1）当
，DC⊥AB时，由圆周角定理可得∠EOD=∠DOB，根据等腰三角形的性质可得OF⊥BE，由CD⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，利用AAS可证明△OCD≌OFB，可得∠ODC=∠OBF，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，利用角的和差关系可得∠FBD=∠FDB，即可证明FB=FD；
（2）当，FB=FD时，同（1）可得OF⊥BE，根据等腰三角形的性质可得∠OBD=∠ODB，∠FBD=∠FDB，利用角的和差关系可得∠ODC=∠OBF，利用ASA可证明△OCD≌OFB，可得∠OFB=∠OCD=90°，可得DC⊥AB；
（3）当DC⊥AB，FB=FD时，同（2）可得△OCD≌OFB，由DC⊥AB可得∠OFB=∠OCD=90°，根据垂径定理可得，综上即可得答案.
如图，连接OE、OD，
（1）当，DC⊥AB时，
∵，OD为半径，
∴∠EOD=∠DOB，
∵OE=OB，
∴OF⊥BE，
∴∠OFB=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCB=∠OFB=90°，
在△OCD和△OFB中，
，
∴△OCD≌△OFB，
∴∠ODC=∠OBF，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD-∠OBF=∠ODB-∠ODC，即∠FDB=∠FBD，
∴FB=FD.
（2）当，FB=FD时，
∵，OD为半径，
∴∠EOD=∠DOB，
∵OE=OB，
∴OF⊥BE，
∴∠OFB=90°，
∵OD=OB，FB=FD，
∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，
∴∠ODC=∠OBF，
在△OCD和△OFB中，
，
∴△OCD≌△OFB，
∴∠OCD=∠OFB=90°，
∴DC⊥AB.
（3）当DC⊥AB，FB=FD时，
∵DC⊥AB，
∴∠OCD=90°，
∵OD=OB，FB=FD，
∴∠ODB=∠OBD，∠FDB=∠FBD，
∴∠ODC=∠OBF，
在△OCD和△OFB中，，
∴△OCD≌△OFB，
∴∠OFB=∠OCD=90°，
∴OD⊥BE，
∵OD是半径，
∴.
综上所述，组成真命题的个数为3，
故选：D.
