Question

如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．

（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

Answer 1

（1）见解析（2）①y的最大值为1②

解：（1）证明：∵∠EPF=45°，∴∠APE+∠FPC=180°－45°=135°。
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
∴∠CFP+∠FPC=180°－45°=135°。∴∠APE=∠CFP。
（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，∴△APE∽△CPF，∴。
而在正方形ABCD中，边长为4，AC为对角线，则。
又∵P为对称中心，∴AP=CP=。
∴，即。
如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

∵P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2。
∴。
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称。∴。
∵，∴。
∴。
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，∴2≤x≤4。
令，则。
∴，当，即x=2时，y取得最大值，最大值为1。
∴y关于x的函数解析式为：（2≤x≤4），y的最大值为1。
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=，
代入，得。
（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论。
（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式。
①首先分别用x表示出S₁与S₂，然后计算出y与x的函数解析式．它可转换为一个二次函数，应用二次函数最值原理求出其最大值。
②根据中心对称、轴对称的几何性质，得AE=FC，据此列式求解。