题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣
且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①（1，0）②y=-
x2-
x+2（2）（﹣2，3）（3）存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）
【解析】
试题分析：（1）①先求的直线y=
x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
试题解析：（1）①y=x+2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣
对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-
x+2．
（2）设P（m，-m2-m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ=-m2-m+2﹣（m+2）
=-m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
③ 根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
④ 当点M在第四象限时，设M（n，-n2-n+2），则N（n，0）
∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当
时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；
当
时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
