题目内容

【题目】在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.

(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;
(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以 cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);
①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.
②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

证明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°,

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF与△DNC中,

∴△ADF≌△DNC(ASA),

∴DF=MN


(2)

解:①该命题是真命题.

理由如下:当点F是边AB中点时,则AF= AB= CD.

∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE,

∴AE= EC,则AE= AC= a,

∴t= = a.

则CM=1t= a= CD,

∴点M为边CD的三等分点.

②能.理由如下:

易证△AFE∽△CDE,∴ ,即 ,得AF=

易证△MND∽△DFA,∴ ,即 ,得ND=t.

∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t.

若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形:

(Ⅰ)若FN=MN,则由AN=DM知△FAN≌△NDM,

∴AF=ND,即 =t,得t=0,不合题意.

∴此种情形不存在;

(Ⅱ)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC,

∴t= a,此时点F与点B重合;

(Ⅲ)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如下图所示:

由△CEF∽△AED,得

=

∴CF=

由△DNM∽△CDF,得 =

=

∴DN=t=CM,

在Rt△MFC和△NMD中,

∴△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t;

又由△NDM∽△DCF,∴ ,即 ,∴FC=

=a﹣t,

∴t=a,此时点F与点C重合.

综上所述,当t=a或t= a时,△MNF能够成为等腰三角形


【解析】(1)证明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN;(2)①首先证明△AFE∽△CDE,利用比例式求出时间t= a,进而得到CM= a= CD,所以该命题为真命题;②若△MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点,需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题.

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