Question

（2013•滨湖区一模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于F，连结BF．
（1）求证：CF=BD；
（2）若CA=CB，∠ACB=90°，试判断四边形CDBF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，求tan∠AFC的值．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定方法可证明△ADE≌△FCE，所以CF=AD，因为D是AB的中点，所以AD=BD，所以CF=BD；
（2）四边形CDBF是正方形，根据邻边相等和有一个角为90°的平行四边形为正方形证明即可；
（3）由平行线的性质可得：∠AFC=∠BAF，所以求tan∠AFC的值可转化为求tan∠FAB的值．

解答：（1）证明：∵AB∥CF，
∴∠DAE=∠EFC，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵在△ADE和△FCE中，

∠DAE=∠EFC ∠AED=∠CEF DE=CE

，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∵AD=BD
∴CF=BD；

（2）四边形CDBF是正方形，理由如下：
证明：∵CF∥BD，CF=BD，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=

1

2

AB=BD，
∴四边形CDBF是正方形；

（3）解：∵四边形CDBF是正方形，
∴BF=BD，
∵AD=BD，
∴AB=2BF，
∵CF∥AB，
∴∠AFC=∠FAB，
∴tan∠AFC=tan∠FAB=

1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，题目的综合性较强，难度中等．