Question

如图，?ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F，
①证明：△AOE≌△COF
②证明：四边形AECF是平行四边形；
③在已知条件外，请你再添加一个条件，使四边形AECF是矩形．

Answer 1

①证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），
OA=OC（平行四边形的对角线互相平分），
∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）；

②证明：由①得：△AOE≌△COF，
∴OE=OF（全等三角形的对应边相等），又OA=OC（已证），
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；

③解：若添加AC=EF，理由：
由②得四边形AECF是平行四边形，且对角线AC=EF，
∴AECF为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）；
若添加AF⊥BC，理由：
由②得四边形AECF是平行四边形，
又AF⊥BC，∴∠AFC=90°（垂直定义），
∴AECF为矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）．
（答案不一，只要满足题意即可）．
分析：①由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边AD与BC平行，且对角线互相平分得到O为AC的中点，然后利用两直线平行得到两对内错角相等，再根据AAS可得三角形AOE与三角形COF全等，得证；
②由第一问得到的两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等可得OE=OF，又由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，然后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得证；
③由第二问证明的AECF为平行四边形，若再添加AC=EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形可得AECF为矩形；若添加AF垂直于BC，由垂直定义可得∠AFC=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形可得AECF为矩形，所添的条件不唯一，只要满足题意即可．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定，其中平行四边形的性质有：对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分，本题第一问用的是平行四边形的对角线互相平分，对边平行；平行四边形的判定方法有：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，两组对边相等的四边形为平行四边形，两组对角相等的四边形为平行四边形，对角线互相平分的四边形为平行四边形，本题第二问用的方法是对角线互相平分的四边形为平行四边形；第三问为条件探究型题，是近几年中考的热点题型，解题的关键是从结论出发，逆向追索，补充使结论成立的条件，但满足结论的条件不是唯一的，学生解答本题时应熟练掌握矩形的判定方法，即对角线相等的平行四边形为矩形；有一个角为直角的平行四边形为矩形．