Question

一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是

12

．

Answer 1

分析：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．例如：设x=2^a3^b，则它的约数有（a+1）（b+1）（1+1），它的2倍为2^a+13^b5，它的约数有（a+1+1）（b+1）（1+1）个，则（a+1+1）（b+1）（1+1）-（a+1）（b+1）（1+1）≥4，所以最后增加的个数要比给定的数字大，设x=2^a-3^b，它的约数（a+1）（b+1）个，它的2倍为2^a+13^b，它的约数有（a+1+1）（b+1）个，则：（a+1+1）（b+1）-（a+1）（b+1）=b+1=2，求出b=1；同理，它的3倍为2^a，它的约数为（a+1）（b+1+1）个，比原数多3个，即（a+1）（b+1+1）-（a+1）（b+1）=a+1=3，求出b=2，所以这个数的形式是2²3=12；由此解答．

解答：解：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大．
设x=2^a-3^b，它的约数（a+1）（b+1）个，
它的2倍为2^a+13^b，它的约数有（a+1+1）（b+1）个，
则：（a+1+1）（b+1）-（a+1）（b+1）=b+1=2，求出b=1；
同理，它的3倍为2^a，它的约数为（a+1）（b+1+1）个，比原数多3个，
即（a+1）（b+1+1）-（a+1）（b+1）=a+1=3，求出b=2，
所以这个数的形式是2²3=12；
答：这个正整数是12．
故答案为：12．

点评：此题考查了约数个数与约数和定理，根据题意，推出这个数只能含2和3两种质因数，是解答此题的关键．