Question

求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和．

Answer 1

分析：和2001不互质的数一定是成对出现的，每对的和都是2001，所以我们只需要求出与2001互质且小于2001的所有自然数互质的个数就可以了．

解答：解：若（a，2001）=1，则（2001-a，2001）=1，即小于2001与2001互质的自然数成对出现．而a+2001-a-2001，所以小于2001且与2001互质的自然数之和=

1

2

×小于2001且与2001互质的自然数的个数×2001．
2001=3×23×29．
与2001有公约数3的数且不大于2001的数的个数=[

2001

3

]=667；
与2001有公约数23的数且不大于2001的数的个数=[

2001

23

]=87；
与2001有公约数29的数且不大于2001的数的个数=[

2001

29

]=69；
与2001有公约数3×29的数且不大于2001的数的个数=[

2001

3×29

]=23；
与2001有公约数3×23的数且不大于2001的数的个数=[

2001

3×23

]=29；
与2001有公约数23×29的数且不大于2001的数的个数=[

2001

23×29

]=3；
与2001有公约数3×23×29的数且不大于2001的数的个数=[

2001

3×23×29

]=1．
与2001互质且小于2001的数的个数=2001-67-87-69+23+29+3-1=1323．
与2001互质，且小于2001的所有自然数的和=

2001×1232

2

=1232616．

点评：此题解答的关键在于求出互质的数的个数，进而解决问题．