Question

【题目】设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．

（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；

（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”， ，设，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析；（3）见解析．

【解析】试题分析：（1）数列为“数列”，则，可得，两式相减得： ，数列为等比数列，其通项公式为；（2）假设存在这样的数列，则有，故有两式相减得同理可得： ，可得，又，即，两者矛盾，从而可得结果；（3）利用错位相减思想，可得.

试题解析：（1）数列为“数列”，则

故，两式相减得： ，又n=1时， ，所以，

故对任意的恒成立，即（常数），故数列为等比数列，其通项公式为．

（2）假设存在这样的数列，则有，故有

两式相减得： ，故有

同理由是“数列”可得： ，

所以对任意恒成立

所以，即，又，即，两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．

（3）因为数列为“数列”，所以

所以

故有， ，又n=1时， ，故，满足：

所以对任意正整数n恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8,

故

所以，

两式相减得：

=，显然，故，即．