Question

有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？

Answer 1

考点：数字和问题

专题：竞赛专题

分析：该数能表示连续5个自然数的和，说明该数能够被5整除；该数能表示成连续7个自然数的和，说明该数能够被7整除；该数能够表示成6个连续自然数的和，假设4个连续的自然数分别为：A，A+1，A+2，A+3，A+4，
A+5，六个数之和为6A+15，可见该数能够被3整除，但不能被6整除．据此特点进行解答即可．

解答： 解：根据平均数的知识可知：
该数能表示连续5个自然数的和，说明该数能够被5整除；
该数能表示成连续7个自然数的和，说明该数能够被7整除；
该数能够表示成6个连续自然数的和，
假设4个连续的自然数分别为：A，A+1，A+2，A+3，A+4，
A+5，六个数之和为6A+15=3×（2A+5），
可见该数能够被3整除，但不能被6整除．
由此可知：
该数必然能同时被3，5，7整除，但不能同时被6，7，5整除，
因此该数是105的倍数但不是210的倍数．
在1至1000之间能够被105整除而不能被210整除的数字有：
105，315，525，735，945．共计5个符合要求的数．
答：符合要求的数是105，315，525，735，945．

点评：根据平均数的知识得出此类数数必然能同时被2，3，5整除，但不能同时被4，3，5整除是完成本题的关键．