Question

【题目】已知函数（其中）.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明（其中是的导函数）.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（1）求出，令可得函数增区间，，可得函数的减区间，由单调性可得在处取得的极大值，函数无极小值；（2）由（1）知两零点分别在区间和内，不妨设，先证明，从而得，换元后，利用导数研究函数的单调性，求其最小值，进而可得结论.

试题解析：（1）由得，

当时，，若；若 ，

故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.

（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.

又由（1）知两零点分别在区间和内，不妨设.

则，

又，

两式相减得，则，

所以

，

令，

则单调递减，则，

所以.