Question

2012 年是农历龙年，将满足下列要求的十位数

.	ABCDEFGHIJ

称为“巨龙数”：
（i）刚好由0～9组成，每个数字恰用1次；
（ii）此数的前3位与后3位均为3的倍数；
（iii）前6位与后6位均为6的倍数；
（iv）前9位与后9位均为9的倍数．
那么：
（1）A+J=

9

；
（2）D×G=

18

；
（3）“巨龙数”共有

288

个．

Answer 1

分析：（1）9的倍数的特征：各个数位上的数的和是9的倍数；根据前9位与后9位均为9的倍数，又因0～9十个数字的和是45也是9的倍数，可得A=9，J=0，或A=0，J=9（不合要求）；所以这个“巨龙数”的第一位也就是A一定是9，最后一位J就是0，故A+J=9+0=9，；
（2）6的倍数的特征：是偶数，各个数位上的数的和是3的倍数；根据前6位与后6位均为6的倍数；所以，公共部分E+F也是3的倍数；并且F，J是偶数；3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数；由此可确定B+C、D、G、H+I也得是3的倍数，进而确定D和G分别是3和6，可得G=3，D=6或G=6，D=3；则G×D=3×6=18；
（3）再按照乘法原理：分为五种情况讨论，结合前面B+C、E+F、H+I、D+G的和都是3的倍数和F是偶数等；AJ（1×1），BC（4×2），DG（2×1），EF（3×3），HI（2×1）；（1×1）×（4×2）×（2×1）×（3×3）×（2×1）=288．

解答：解：（1）根据前9位与后9位均为9的倍数和0～9的和是45也是9的倍数，确定A=9，J=0，所以A+J=9+0=9；

（2）根据前6位与后6位均为6的倍数，所以，公共部分E+F也是3的倍数；并且F，J是偶数；根据前3位与后3位均为3的倍数，进一步确定B+C、D、G、H+I一定也得是3的倍数，进而确定D和G分别是3和6，即G=3，D=6或G=6，D=3，所以D×G=3×6（或6×3）=18；

（3）“巨龙数”共有：
由乘法原理，按排列组合，以及倍数关系，可知：AJ（1×1），BC（4×2），DG（2×1），EF（3×3），HI（2×1）
可得：（1×1）×（4×2）×（2×1）×（3×3）×（2×1）=288；
故答案为：9，18，288．

点评：此题考查数的整除特征，能被3整除的数的特征：各个数位上的数的和能被3整除；能被6整除的数的特征：既能被2整除，又能被3整除；能被9整除的数的特征：各个数位上的数的和能被9整除；据此进行分析进行解答．