Question

求所有满足如下条件的四位数n：
（1）n的第一位和第三位数字相同；
（2）n的第二位和第四位数字相同；
（3）n的各位数字的乘积是n²的约数．

Answer 1

分析：由题意，可设这四位数是

.

abcd

，由题意得

abab2

abab

是整数，

.

abab2 a2b2

是整数，即

.

abcd ab

是整数，
即

. ab ×101

ab

是整数，101是质数，所以

10a+b

ab

是整数，即

10

b

+

1

a

是质数．
然后对a、b进行取值，解决问题．

解答：解：设这四位数是

.

abcd

，得：

abab2

abab

是整数，

.

abab2 a2b2

是整数，即

.

abcd ab

是整数，
即

. ab ×101

ab

是整数，101是质数，所以

10a+b

ab

是整数，即

10

b

+

1

a

是质数．
当a=1时，b=1、2、5，则

.

abcd

，为：1111、1212、1515；
当a=2时，b=4，则

.

abcd

为：2424；
当a=3时，b=6，则

.

abcd

为：3636．
因此满足条件的四位数是1111，1212，2424，3636，1515．

点评：设出这个四位数为

.

abcd

，推出

10

b

+

1

a

是质数，然后对a、b进行取值，解决问题．