Question

一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m＞n）．
（1）设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数；
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根．试确定m和n的值．

Answer 1

分析：（1）首先构造出被分成红色刻度线将它分成m等份：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），用黑色刻度将它分成n等份为：B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），计算出结果得出答案即可；
（2）由（1）得出的算式作差，利用整除的性质得出m和n的整数解．

解答：解：①A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

）
=（1-

1

2

）（1-

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

2

）（1+

1

3

）…（1+

1

m

）
=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

m-1

m

×

3

2

×

4

3

×…×

m+1

m

=

1

2

×

m+1

m

=

m+1

2m

；
同样，可以得出B=

n+1

2n

；
所以x+1是m和n的公约数；
②由题设，A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，

1

m

-

1

n

=

1

13

，

1

m

=

1

n

+

1

13

=

13+n

13n

，
所以，m=

13n

13+n

=

13(n+13-13)

13+n

=13-

13×13

13+n

，
即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，13²．所以，
13+n=13²，n=13²-13=156，m=12．
求出正整m，n的另一方法：
使A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，

1

m

-

1

n

=

1

13

．
设m=Ka，n=Kb，（a，b）=1，代入上式，

1

Ka

-

1

Kb

=

b-a

Kab

=

1

13

．
（b-a）和a，b都互质，一定整除K．记d=

K

a-b

是正整数，b＞a则有：

1

dab

=

1

13

．
由上式和b＞a，b=13，a=1，d=1．所以，K=12，m和n有唯一解，m=12，n=156．
符：m=12，n=156．

点评：解决此题的关键是构造出等分的结果，利用结果的特点，找出解决问题的方法．