Question

一个四位数能被3整除且至少含有一个数字6，这样的四位数共有多少个？

Answer 1

考点：数的整除特征,2、3、5的倍数特征,排列组合

专题：整除性问题

分析：从1000到9999这9000个数中，共有3000个能被3整除的数，能被3整除且不含有数字6的四位数：
在最高位上，不能为0和6，因此有8种可能情况；在百、十位上不能为6，各有9种可能情况；
在个位上，不仅不能为6，还应使整个四位数被3整除，因此，所出现的数字应与前3位数字之和被3除的余数有关：当余数为0时，个位上可以为0，3，9中的一个；当余数为1时，个位上可为2，5，8中的一个；当余数为2时，个位上可为1，4，7中的一个；总之，不论前3位数如何，个位上都有3种可能情况，所以由乘法原理知，这类4位数个数为8×9×9×3=1944；由此即可求出被3整除且至少含有一个数字6的四位数．

解答： 解：从1000到9999这9000个数中，共有3000个能被3整除的数，
能被3整除且不含有数字6的四位数：在最高位上，不能为0和6，因此有8种可能情况；在百、十位上不能为6，各有9种可能情况；在个位上，不仅不能为6，还应使整个四位数被3整除，因此，所出现的数字应与前3位数字之和被3除的余数有关：
当余数为0时，个位上可以为0，3，9中的一个；
当余数为1时，个位上可为2，5，8中的一个；
当余数为2时，个位上可为1，4，7中的一个；
总之，不论前3位数如何，个位上都有3种可能情况，
所以由乘法原理知，这类4位数个数为：8×9×9×3=1944，
因此能被3整除且含有数字6的四位数有：3000-1944=1056（个）；
答：这样的四位数共有1056个．

点评：此题考查了数的整除特征，明确能被3整除且不含有数字6的四位数的个数，是解答此题的关键．