Question

小于100且与100互质的所有自然数的和是

2000

．

Answer 1

分析：我们知道，如果a与A互质（a＜A），那么A-a也一定与A互质，且a与A-a这对数的和是A．例如：3与100互质，那么97也一定与100互质，且 3+97=100．由此可知，只要知道100以内与100互质的数的个数，就能算出小于100且与100互质的所有自然数的和．

解答：解：因为100只含有质因数2和5，所有与100互质的自然数必定是既不含有质因数2，又不含有质因数5的数，即个位是1、3、7、9的数．
这样的数共有4×（100÷10）=40（个），而且这40个数都能两两配成一对，每对的两数之和是100．所以小于100且与100互质的所有自然数的和是：100×（40÷2）=2000．
故答案为：2000．

点评：此题也可这样求解：首先，将100分解质因数，得：100=2×2×5×5，所以，和100互质的自然数不能是2或5的倍数，所以有：1，3，7，9，11，13，17，19，21，23，27，29，31，33，37，39，41，43，47，49，51，53，57，59，61，63，67，69等等，再用高斯算法：（1+99）+（3+97）+（7+93）+（9+91）+（11+89）…+（47+53）+（49+51）=100×20=2000．
另解：因为100=2×2×5×5，所以1到100中，与100互质的所有自然数应是除5的倍数之外的所有奇数；
从1到99的连续奇数（包括5的倍数）一共有50个，这50个连续奇数的和是：
1+3+5+7+…+93+95+97+99=（1+99）×50÷2，=2500．
100以内的奇数中，5的倍数有5的1倍、3倍、5倍…17倍、19倍，共10个数，这十个数的各是：
5×（1+3+5+…+17+19）=5×（1+19）×10÷2=500；
所以，符合条件的各个数的和是：2500-500=2000．