Question

晶晶有90块大小相同的建筑用木板．他将所有的木板（不能切割）用来建造4级“楼梯”，除顶层外，其它各级梯面的长度相等（如图），
①用这90块木板来建造一个6级“楼梯”，共有几种方式？请一一列举出来．
②如果他想把这90块木板去造一个7级“楼梯”，他的设想能实现吗？请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列

专题：传统应用题专题

分析：①本题实际上是要把90拆成有6项的等差数列，设其公差为x，则有：首项+末项=90×2÷6=30，首项-末项=5x，然后推导首项和公差的关系，再讨论即可；
②同理，按问题①的解答思路讨论首项和公差的关系，即可判断设想能能否实现．

解答： 解：①本题实际上是要把90拆成有6项的等差数列，设其公差为x，
则有：首项+末项=90×2÷6=30，首项-末项=5x，
则：2×首项=30+5x，
首项=15+

5

2

x．
而

5

2

x必为整数，且首＜30，所以有两种情况满足条件：第一：20、18、16、14、12、10．第二：25、21、17、13、9，5．因此，共有2种方式．
②当分7级时，首项+末项=90×2÷7=

180

7

，则首、末都必须为分数，所以不能实现．

点评：本题考查了高斯求和公式的实际应用，相关的知识点是：和=（首项+末项）×项数÷2；首项=末项-公差×（项数-1）；末项=首项+公差×（项数-1）；项数=（末项-首项）÷公差+1．．