Question

某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题目叫作“较难题”，没人做出来的题目叫作“特难题”，且“较难题”是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”，请问：“特难题”共有多少道？

Answer 1

考点：容斥原理

专题：传统应用题专题

分析：通过分析，可设特难题a道，较难题有3a道，容易题有b道，则有2人做出的题有（100-4a-b）道，易知3a+2（100-4a-b）+3b=210，可知b=5a+10＞40，则有a≥7，又a＜100-90=10，则有a≤9，所以a=7，8，9，解得a=7，b=45；a=8，b=50；a=9，b=55，由于b＜50，所以只有a=7，b=45满足条件，据此解答即可．

解答： 解：设特难题a道，较难题有3a道，容易题有b道，则有2人做出的题有（100-4a-b）道：
可得方程：3a+2（100-4a-b）+3b=210
b=5a+10＞40
a≥7
又a＜100-90=10，则有a≤9
所以a=7，8，9
解得a=7，b=45；
    a=8，b=50；
    a=9，b=55．
由于b＜50，所以只有a=7，b=45满足条件．
答：特难题共有7道．

点评：本题主要考查了容斥原理，正确确定解题思路，转化为求列出数量关系式是解题的关键．