题目内容
如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且∠1=∠2=∠3=∠4．求四边形EFGH的周长．考点：相似三角形的性质（份数、比例）
专题：平面图形的认识与计算
分析：由∠1=∠2=∠3=∠4可得出∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，从而可得出∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，这样即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，连接AC、BD，则有：
=
，
=
，从而可得
+
=
+
=1，即GF+HG=AC=2，根据平行四边形的性质可得出四边形EFGH的周长．
| GF |
| AC |
| GD |
| AD |
| HG |
| BD |
| AG |
| AD |
| GF |
| AC |
| HG |
| BD |
| AG |
| AD |
| GD |
| AD |
解答：
解：因为∠1=∠2=∠3=∠4，
所以∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四边形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，
所以△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
所以
=
=
，
所以EF∥BD，
同理HG∥BD，
所以
=
，
=
，
所以
+
=
+
=1，又因为
+
=
+
，AC=BD，
即GF+HG=AC=2，
所以四边形EFGH的周长=2（GF+HG）=4．
答：四边形EFGH的周长是4．
所以∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四边形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，
所以△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
所以
| BE |
| CE |
| BH |
| CF |
| DF |
| FC |
所以EF∥BD，
同理HG∥BD，
所以
| GF |
| AC |
| GD |
| AD |
| HG |
| BD |
| AG |
| AD |
所以
| GF |
| AC |
| HG |
| BD |
| AG |
| AD |
| GD |
| AD |
| GF |
| AC |
| HG |
| BD |
| GF |
| AC |
| HG |
| AC |
即GF+HG=AC=2，
所以四边形EFGH的周长=2（GF+HG）=4．
答：四边形EFGH的周长是4．
点评：此题考查了矩形的性质及相似三角形的性质，题目看着比较简单，但不容易想出求解思路，解答本题的关键是得出比例式
=
，
=
，进而解决问题．
| GF |
| AC |
| GD |
| AD |
| HG |
| BD |
| AG |
| AD |
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