Question

【题目】如图1，在平行四边形中， ， ， ， 、分别为、的中点，现把平行四边形1沿 折起如图2所示，连接、、．

（1）求证： ；

（2）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）取的中点，计算可得， ，即得平面，从而可证（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，根据向量数量积得两个法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果

试题解析：证明：（1）取的中点，连接， ， ，

∵在平行四边形中， ， ， ， 、分别为、的中点，

∴， 为正三角形，

则， ，又∵，

∴平面，

∵平面

∴；

∵， ， ， 、分别为、的中点，

∴， ， ∵，则，

则三角形为直角三角形，则，

以为原点，以， ， 为轴建立空间直角坐标系，

则C（1，0，0），B1（0， ，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0， ），则

则， =（0， ， ），=（1，0， ），

设平面AB1C的法向量为，

则， 令，则， ， 则，

设平面A1B1A的法向量为，则，

令，则， ，即，

则

∴二面角的正弦值是.