Question

6．如图，以一个直角三角形ABC的一直角边为直径作半圆，P是半圆弧的最高点，连结BP，已知阴影部分的面积与空白部分面积的差为16，若在该半圆内作一个最大的圆

（1）求该圆的直径；
（2）以与该圆面积相等的圆为底作一个圆柱，圆柱的展开图如图所示，图中长方形的长与宽之比为3.14：1．请在图中括号内标明相应的数据；
（3）计算该圆柱的体积．

Answer 1

分析 （1）利用圆的对称性可知：两个阴影部分面积相等（OC=OA；CD=EA；OD=OE）
等底同高的三角形面积相等 所以 S_△POD=S_△POE；S_△CDB=S_△AEB；S_△BOD=S_△BOE；
于是：S_△BOP=S_△POD+S_△BOD=S_△POE+S_△BOE，

根据题意阴影部分的面积与空白部分面积的差为16，即为三角形PEB的面积是16，据此解答即可．
（2）根据第一问求得的数据可知，d=4，c=长方形的长=πd=3.14×4=12.56，再根据长方形的长与宽之比为3.14：1求得长方形的宽是12.56÷3.14=4．
（3）根据圆柱的体积V=sh解答即可．

解答 解：如图，利用圆的对称性可知：两个阴影部分面积相等（OC=OA；CD=EA；OD=OE）
等底同高的三角形面积相等 所以 S_△POD=S_△POE；S_△CDB=S_△AEB；S_△BOD=S_△BOE；
于是：S_△BOP=S_△POD+S_△BOD=S_△POE+S_△BOE

因此 原图中阴影部分与空白部分的面积差就转化为三角形PBE的面积了，
则有：2S_△BOP=16
所以：
$2×\frac{1}{2}OP•OC=16$
OP=OC=4
即小圆的直径为4．

（2）3.14×4=12.56
12.56÷3.14=4

答：小圆直径处填4，长方形的长是12.56，长方形的宽是4．
故答案为：4，12.56，4．

（3）3.14×（4÷2）²×4
=3.14×16
=50.24
答：圆柱的体积是50.24．

点评 解决此题的关键是做出合适的辅助线，将图形进行相应转换，利用已知条件求得阴影部分的面积．