Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由已知得值，利用求得，从而得到椭圆的方程；（2）根据三角形的面积公式知等价于，要对斜率进行讨论，当直线斜率不存在时，，不符合题意，舍去；当直线斜率存在时，将直线与椭圆联立方程，结合韦达定理可得到关于直线斜率的方程，从而得到值，求得直线方程.

试题解析：（1）由已知得

，所以椭圆的方程为

（2）等价于

当直线斜率不存在时，，不符合题意，舍去；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，

由消并整理得

设，则

①，②

由得③

由①②③解得，因此存在直线使得与的面积比值为2