Question

有一类自然数除2006所得的余数都是11．那么这类自然数共有

12

个．

Answer 1

分析：2006减去11，得到1995，把1995分解质因数，1995=5×3×7×19，根据除数大于余数，则大于11的质因数有19这1个数，任意取两个质因数相乘的数有15、21、35、57、95、133共6个数，三个质因数相乘有105、285、665、399共4个数，四个质因数的积即1995这1个数，把它们都加起来，即可得解．

解答：解：2006-11=1995，
分解质因数1995=5×3×7×19，
第一类：单个质因数，19＞11，有1个；
第二类：两个质因数的积5×3=15，5×7=35，3×7=21，3×19=57，5×19=95，7×19=133，都大于11，有6个；
第三类：三个质因数的积5×3×7=105，5×3×19=285，5×7×19=665，3×7×19=399，都大于11，有4个；
第四类：四个质因数的积即本身1995，有1个；
1+6+4+1=12（个）；
答：有一类自然数除2006所得的余数都是11．那么这类自然数共有 12个；
故答案为：12．

点评：灵活应用分解质因数和带余除法的性质来解决实际问题．