Question

下面是用橡皮筋在钉子饭上围成的图形，每个图形的内部都只有1枚钉子．

先算出每个图形的面积，再数一数每个图形的边经过多少枚钉子．
（1）用式子表示图形的边经过的钉子数a和图形的面积S之间的关系．
（2）如果图形的内部有2枚钉子，结果会怎样？

Answer 1

分析：根据每两个点之间的距离为1厘米，从而可以算出各个图形的面积，然后再通过数每个图形的边经过多少枚钉子数，来找出格点面积公式；
（1）根据面积和边经过的钉子数，总结出公式：格点面积=内部格点数+周界格点数除以2再减1或（内部格点数+周界格点数除以2再减1）乘2，即可求出图中多边形的面积；
（2）根据公式进行计算．

解答：解：根据分析可算出每个图形的面积，与每个图形的边经过多少枚钉子如下：

（1）根据表中的数据可知，每当增加一个钉子，就必然增加一个小三角形的面积，也就是0.5平方厘米；
所以S=1+

a

2

-1=

a

2

；即图形的边经过的钉子数a和图形的面积S之间的关系为S=

a

2

．
（2）如果图形的内部有2枚钉子，S=2+

a

2

-1=

a

2

+1；
所以当图形的内部有2枚钉子时图形的边经过的钉子数a和图形的面积S之间的关系为S=

a

2

+1．
答：（1）图形的边经过的钉子数a和图形的面积S之间的关系为S=

a

2

；（2）当图形的内部有2枚钉子时图形的边经过的钉子数a和图形的面积S之间的关系为S=

a

2

+1．

点评：钉子问题，可以这么想，内部含有1个钉子的状态，有一种基本状态，就是只有四个钉子被线连着，构成一个斜放的正方形，然后，每当增加一个钉子，就必然增加一个小三角形的面积，也就是0.5平方厘米．