Question

19．如图所示的几何体是由10个相同的小正方体木块搭建的，已知小正方体的棱长为1cm．
（1）该几何体的体积是10cm³，表面积是36cm²．
（2）如果在原图的基础上继续搭建，使搭建后的几何体构成一个大正方体，那么至少还需要17个小正方体．
（3）仔细观察该几何体的排列规律，请你猜想，按照这种方法继续搭建若干层，若几何体共四层，则小正方体共有10个；若某层的小正方体共有28个，则该层是第7层．

Answer 1

分析 （1）根据正方体的体积公式，得到一个小正方体的体积是1×1×1=1立方厘米，10个相同的小正方体的体积是1×10=10立方厘米；根据一个正方体有6个面，从6个方向观察这个几何体，每个方向的面积都是1+2+3=6个正方形，即6平方厘米，总表面积为6×6=36平方厘米；
（2）若继续搭建，搭建后的几何体构成一个大正方体，长款高都是3个小正方体，共需要3×3×3=27个小正方体，那么至少还需要27-10=17个；
（3）观察图形，发现第一层有1个；第二层有3个，3=1+2；第三层有6个，6=1+2+3；以此类推，第四层有1+2+3+4=10个；…第n层有1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$个；$\frac{7×8}{2}$=28，n=7，据此得解．

解答 解：（1）1×1×1×10=10（立方厘米）
（1+2+3）×6=36（平方厘米）
答：该几何体的体积是 10cm³，表面积是 36cm²．

（2）3×3×3-10
=27-10
=17（个）
答：至少还需要 17个小正方体．

（3）1+2+3+4=10（个）
1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$
$\frac{7×8}{2}$=28，
n=7（层）
答：若几何体共四层，则小正方体共有10个；若某层的小正方体共有28个，则该层是第7层．
故答案为：10，36，17，10，7．

点评 解决此题的关键是找出小正方体的排列规律．