Question

一个三角形把平面分成两部分，10个三角形最多能把平面分成

272

部分．

Answer 1

分析：一个三角形可分内外两部分，第2个三角形有三条边，每条边都可以挂一下原三角形的每个角，这样就产生2×3=6个交点，根据植树间隔问题，这6个交点自然把第2个三角形这样一个封闭图形分成6段（有直有弯），每段穿过一个部分一分为2，新增6个，所以2+6=8部分；第3个三角形的每条边现在可以挂到原有2个三角形的2个角，得到4个点，3条边最多可产生4×3=12个交点，同理这12个交点把第三个三角形本身分成12段，每段穿过一个部分，又新增加12个，共2+6+12=20个；同理，第4个三角形共分成：2+6+12+18；…；所以n个三角形分部分数可总结出一个规律：部分数=2+6+12+18+24+…=2+n×（n-1）×3；据此解答．

解答：解：2+10×（10-1）×3，
=2+270，
=272；
答：l0个三角形最多能把平面分成272部分．
故答案为：272．

点评：像这种长方形、直线、圆、三角形等分平面部分数的问题，对于比较复杂的问题，可以先观察其简单情况，利用等差数列归纳出其中带规律性的东西，然后再来解决较复杂的问题．