Question

100、如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走 1枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是第2011号，则最后剩下的棋子最初是第几号？

Answer 1

分析：本题可从简单的问题开始，通过实验寻找规律．如果圆圈上只有1、2号两枚棋子，最后剩下的是1号；如果圆圈上只有1～4号这4枚棋子，通过实验发现：最后剩下的也是1号；如果圆圈上只有1～8号这8枚棋子后剩下的也是1号；而2=2¹，4=2²，8=2³，…，由此可以得出一个规律：当圆圈上有2ⁿ个号码时，按题目中的取法最后剩下的一定是1号．但2011不是2的n次方，须设法使圆圈上的数是2的若干次方．因为1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011-1024=987．所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子．又因为987×2=1974，即从1开始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，从1974开始数：1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方．这一来，问题就变成：将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向，依次排成一个圆圈，从1975开始，留下1975，取走1976，…，正好符合上面规律的要求．所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子，即最初的1975号棋子．

解答：解：通过实验发现，当圆圈上有2ⁿ个号码时，按题目中的取法最后剩下的一定是1号．
因为1024是2的10次方，而2048是2的11次方，2011-1024=987．
所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子．又987×2=1974，
即从1开始，取走2，4，6，8，…，1974共987枚棋子后，从1974开始数：
1975，1976，1977，…，2011，1，3，5，…，1971，1973，共有1024枚棋子，1024等于2的10次方．
、将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向，依次排成一个圆圈，从1975开始，留下1975，取走1976，…，
正好符合上面规律的要求．所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子，
即最初的1975号棋子．
答：最后剩下的棋子最初是1975号．

点评：本题如果直接按规则操作数据较多，且规律不明显，因此可从简单的数开始，通过实验寻找规律，然后再据规律结合题是数据进行推理．