Question

对于三个不同的自然数a、b、c，证明：a、b、c、ab、ac、bc、abc这7个数中，必有两个数的差是7的倍数．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：把这7个数分别除以7，其余数不外乎是0，1，2，3，4，5，6，进一步根据余数情况探讨得出答案即可．

解答： 解：一个数除以7的余数为0，1，2，3，4，5，6，
如果三个自然数中，有一个能被7整除，不妨设a，则必定ab、ac、abc能被7整除，则必有两个数的差是7的倍数．
如果三个自然数中，都不能被7整除，则这7个数中，余数会出现1，2，3，4，5，6这六种情况，一定会出现余数相同的两个数，则必有两个数的差是7的倍数．
综上所知，三个不同的自然数a、b、c，在a、b、c、ab、ac、bc、abc这7个数中，必有两个数的差是7的倍数．

点评：此题考查数的整除的运用，注意利用余数的情况，分析探讨得出答案即可．