Question

称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=

 

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Answer 1

分析：1+2+3+…+k的和为（1+K）×k÷2，又因为是完全平方数，因此（1+K）×k÷2=m×m，4位数的话，2000≤k×（k+1）≤20000，求出k的取值范围，然后讨论：k=2n和k=2n-1时，n的取值范围，进而解决问题．

解答：解：（1+K）×k÷2=m×m，4位数的话，2000≤k×（k+1）≤20000 即45≤k≤140．
k=2n，n×（2n+1）=N． n与2n+1互质，所以要均为平方数．平方数末尾1、4、9、6、5、0．满足要求的是4、9、5、0． 23≤n≤70，发现没有．
k=2n-1，n×（2n-1）=N，同上，满足要求是1、6、5、0，找到25，所以k=49，N=1225，m=35．

点评：此题从整体考虑，从“有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数”两方面来分析，得出结论．