Question

在100×100的方格表中任意取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点． n的最小值是

199

．

Answer 1

分析：假设199可能是可以的，因为首先从行看，199个红点分布在100行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多99个，所以其他行含有红点肯定大于等于199-99=100，如果是大于100，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于100而没有这样的2个红点在一列，说明有99行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为199．

解答：解：假设199可能是可以的，因为首先从行看，199个红点分布在100行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多99个，所以其他行含有红点肯定大于等于199-99=100，如果是大于100，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；
如果是等于100而没有这样的2个红点在一列，说明有99行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为199．
故答案为：199．

点评：解答此题时既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．