题目内容
某旅游度假村有一游泳池，装有若干根彼此相同的进水管，以及若干根彼此相同的出水管，每根水管进水或出水的速度都保持不变．游泳池中现已装有部分水，如果打开1根进水管，8根出水管，30分钟可将水池中的水全部排光．如果打开1根进水管，5根出水管，60分钟可将水池中的水全部排光．现在打开1根进水管和2根出水管，然后每隔5分钟就增开1根进水管和3根出水管，直到打开第n根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，即停止操作，求：n是多少？
分析：开1根进水管，8根出水管，30分钟可将水池中的水全部排光．如果打开1根进水管，5根出水管，60分钟可将水池中的水全部排光；这两次排水中，进水管都是一根，排水管少了8-5=3根，时间多用了30分钟，则这三根排水管30分能排完水池水的一半，则如果不开进行水管，单开出水管的话，6根出水管30分钟就能排完，如果单开一根出水管的话，则需要180分钟排完，由于开1根进水管，8根出水管，30分钟可将水池中的水全部排光，所以一根进水管的进水量相当于2根排水管的出水量．
由此可知，第一个5分钟内，有根进水管和2根出水管，此时进水量与出水量相等，这五分钟内池中水量不发生变化；
然后每隔5分钟就增开1根进水管和3根出水管，实则每增加五分钟就增加一个出水管的出水量，即增加
=
的出水量，所以第二个五分钟结束后的出水量为
，第三个五分钟结整后的出水量为
+
×2，则第m个五分钟结束后出水量为
+
×2+
×3+…
×m，由于第n根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，所以
+
×2+
×3+…
×n=1，由此即能求出m是多少．而n=m+1．
由此可知，第一个5分钟内，有根进水管和2根出水管，此时进水量与出水量相等，这五分钟内池中水量不发生变化；
然后每隔5分钟就增开1根进水管和3根出水管，实则每增加五分钟就增加一个出水管的出水量，即增加
| 5 |
| 180 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 2 |
| 36 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
解答：解：由题意可知，只开8-5=3根排水管，60-30=30分钟能排完水的一半；
则只开6根出水管30分钟就能排完，如果单开一根出水管的话，则需要30×6=180分钟排完，
又由于开1根进水管，8根出水管，30分钟可将水池中的水全部排光，
所以一根进水管的进水量相当于8-6=2根排水管的出水量．
由此可知，单开一根排水管5分钟可排水池水的
=
，
由于直到打开第n根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，则：
+
×2+
×3+…
×n=1
即
+
+
+…+
=1，
所以1+2+3+…+n=36，
即（n+1）×n÷2=36，
=36，
经验证，n=8．
则打开第8+1=9根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，即n=9．
则只开6根出水管30分钟就能排完，如果单开一根出水管的话，则需要30×6=180分钟排完，
又由于开1根进水管，8根出水管，30分钟可将水池中的水全部排光，
所以一根进水管的进水量相当于8-6=2根排水管的出水量．
由此可知，单开一根排水管5分钟可排水池水的
| 5 |
| 180 |
| 1 |
| 36 |
由于直到打开第n根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，则：
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
| 1 |
| 36 |
即
| 1 |
| 36 |
| 2 |
| 36 |
| 3 |
| 36 |
| n |
| 36 |
所以1+2+3+…+n=36，
即（n+1）×n÷2=36，
| n2+n |
| 2 |
经验证，n=8．
则打开第8+1=9根进水管5分钟后，水池中的水正好全部排光，即n=9．
点评：首先根据已知条件求出一根排水管与一根进水管进水量与排水量的比是完成本题的关键．
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