Question

观察下列图形的规律并解答：

（1）第6个图形中一共有

36

个小三角形．
（2）用三根火柴棒可摆出一个小三角形，那么要摆出第6个图形共需

63

根火柴棒．
（3）用三根火柴棒可摆出一个小三角形，现用165根火柴棒摆出具有上面规律的图形，问：这个图形中共有多少个小三角形？

Answer 1

分析：（1）只数小三角形的个数，发现：
1=1²，4=2²，9=3²；…
第n个图形中，小三角形的个数是n的平方；
（2）第1个图形中需要1×3根，第2个图形中需要1×3+2×3根，以此类推，第n个图形中，需要1×3+2×+3×3+…+n×3=3（1+2+3+…+n）=

3n(1+n)

2

根；由此把n=6代入计算即可；
（3）令

3n(1+n)

2

=165，由此求出n的取值，然后再求出它的平方数即可．

解答：解：（1）6²=36（个）；
答：第6个图形中一共有36个小三角形．

（2）

3n(1+n)

2

，
=

3×6×(1+6)

2

，
=3×3×7，
=63（根）；
答：要摆出第6个图形共需63根火柴棒．


（3）

3n(1+n)

2

=165，
       3n（1+n）=330，
        n（1+n）=110，
因为10×11=110；
所以n=10；
10²=100（个）；
答：这个图形中共有100个小三角形．

点评：此类题要首先正确数出特例中的数据，进一步发现数据之间的关系，归纳出通项即可．