题目内容
求下式约简后的分母：
．
．分析：因为6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500．只要我们求出分子中有多少个因数2、多少个因数3，就可以与分母中的因数2和因数3约分，由此求解．
解答：解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500．
因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因数2，这样分母中的500个因数2将被全部约掉．
分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等．因为
36=729＜1000＜37=2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3．
因为在1～1000中，至少有1个因数3的数有
个，至少有2个因数3的数有
个…
有6个因数是3的数有
个；所以分子中因数是3的个数为：
+
+
+…+
，
=333
+111
+37
+12
+4
+1
，
≈333+111+37+12+4+1，
=498（个）；
与分母约分后，分母还剩两个因数3．
所以，约简后的分母是3×3=9．
因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因数2，这样分母中的500个因数2将被全部约掉．
分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等．因为
36=729＜1000＜37=2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3．
因为在1～1000中，至少有1个因数3的数有
| 1000 |
| 3 |
| 1000 |
| 32 |
有6个因数是3的数有
| 1000 |
| 36 |
| 1000 |
| 3 |
| 1000 |
| 32 |
| 1000 |
| 33 |
| 1000 |
| 36 |
=333
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 27 |
| 28 |
| 81 |
| 28 |
| 243 |
| 271 |
| 729 |
≈333+111+37+12+4+1，
=498（个）；
与分母约分后，分母还剩两个因数3．
所以，约简后的分母是3×3=9．
点评：注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算．因为式中的分子都是1000，分母依次是3，32，33，…后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1．于是得到333+111+37+12+4+1=498（个）．在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方．
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