Question

一个圆柱体木材，如果削成最大的长方体，所得长方体比原来减少了57cm³，再把这个相对的面是正方形的长方体木料，削去多少cm³又成为最大的圆柱体？

Answer 1

考点：简单的立方体切拼问题

专题：立体图形的认识与计算

分析：设最外圆半径为R，大圆面积：π×R×R，大圆内最大正方形面积：4×（

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×R×R），
（把正方形看作由四个小三角形构成，直角边都是半径R），
大圆：正方形=（π×R×R）：（4×（

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）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形内最大圆情况：设正方形边长为2r，则其面积为：2r×2r，正方形内最大圆面积：π×r×r
正方形：小圆=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者关系：大圆：正方形：小圆=2π：4：π
上面原理应用：
大圆：正方形：小圆：（大圆-正方形）：（正方形-小圆）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③，由此可得削去的部分为：57÷（2π-4）×（4-π），解答即可．

解答： 解：
先看圆内最大的正方形（ABCD）情况：
设最外圆半径为R，大圆面积：π×R×R，
大圆内最大正方形面积：4×（

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×R×R），
（把正方形看作由四个小三角形构成，直角边都是半径R），
大圆：正方形=（π×R×R）：（4×（

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）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形内最大圆情况：
设正方形边长为2r，则其面积为：2r×2r
正方形内最大圆面积：π×r×r
正方形：小圆=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者关系：
大圆：正方形：小圆=2π：4：π
上面原理应用：
大圆：正方形：小圆：（大圆-正方形）：（正方形-小圆）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③
回到题中，第一次由圆变正方形减小部分，就是③式中的（大圆-正方形）
第二次由正方形变圆减少部分，就是③式中的（正方形-小圆）
于是减少的面积应为：（算出每份，再乘以变化份数，就是减少面积）
57÷（2π-4）×（4-π）
=57÷2.28×0.86
=25×0.86
=21.5（立方厘米）
答：削去21.5cm³又成为最大的圆柱体．

点评：解答此题的关键是通过推理得出大圆：正方形：小圆：（大圆-正方形）：（正方形-小圆）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π），是解答此题的关键．